MAKALAH INTEGRAL

             Assalamu’alaikum  Wr. Wb.

              Puji syukur alhamdulillah kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan tugas Matematika, yaitu TUGAS MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR YANG DIBATASI DUA KURVA YANG TERDAPAT DI SUMBU X tanpa halangan suatu apapun.

           Banyak orang yang menganggap pelajaran MATEMATIKA itu adalah pelajaran yang sulit, tapi sebenarnya tidaklah ada hal yang sulit apabila kita memperhatikan, memahami dan tekun belajar. Khususnya pada sub bab Integral dalam pelajaran ini mudah jika kita bisa mencoba soal-soal integral terus menerus dan memahami konsep integral yang ada. Oleh karena itu, tugas ini kami buat untuk memahami integral khususnya volume benda putar.

           Dengan tersusunya tugas ini kami berharap dengan tugas ini bisa membuat kami dapat nilai yang baik dan juga tugas ini semoga dapat berguna dalam proses belajar mengajar pada dan berguna bagi si pembacanya dengan begitu tidak percuma laporan ini disusun.

           Dalam kesempatan kali tidak lupa kami mengucapkan banyak terima kasih kepada Bpk. Ma’ruf, S.Pd. yang telah membina dan mengarahkan kami untuk dapat menyelesaikan tugas ini dengan hasil yang baik dan kami juga berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami dalam penyusunan laporan ini.

           Mengingat bahwa manusia memiliki kelebihan maupun kekurangan dalam mengerjakan sesuatu hal, maka kami mengharapkan pembaca bersedia untuk memberika koreksi terhadap tugas ini. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat konstruktif dari para pembaca semua dan juga mudah mudahan laporan yang kami susun ini dapat bermanfaat bagi pembaca semua dan dapat meningkatkan prestasi si penyusun dan si pembaca .

                         Wassalamu’alaikum  Wr. Wb.

                                                                                              Baureno, 14 Agustus 2012

                                                                                                      Tim Penyusun


 

 

 

 

 

Kata Pengantar ……………………………………………………………………………….    1

Daftar Isi ……………………………………………………………………………………….    2

Pendahuluan ……………………………………………………………………………………    3

A.   Tujuan ……………. ………………………………………………………………………..    3

B.   Manfaat………………………………………………………………………………………         3

Isi / Materi ……………………………………………………………………………………..    4

A.   Penggunaan Integral Tertentu………………………………………………………….          4

B.   Volume Benda Putar …………………………………………………………………………    5

C.   Volume Benda Putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar mengeilingi Sumbu X …………………………………………………………………………………..           ..    8

D.  Contoh-contoh Soal dan Penyelesaiaannya………………………………………….          9

Bab III Penutup ………………………………………………………………………………    14

A.   Kesimpulan ……………………………………………………………………………….    14

Daftar Pustaka……………………………………………………………………………….. …  15

 

 

 

 

 

 

 

A.  TUJUAN

      1.   Agar bisa memahami, mengerti penggunaa Integral Tertentu Khususnya Volume Benda Putar

      2.   Agar bisa memahami, mengerti penggunaa Integral Tertentu Khususnya Volume Benda Putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar Mengelilingi Sumbu X

      3.   Agar bisa tahu cara –cara untuk mengerjakan soal-soal Volume Benda Putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar Mengelilingi Sumbu X

      4.   Agar bisa mengerjakan soal-soal Volume Benda Putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar Mengelilingi Sumbu X

 

B.  MANFAAT

      1.   Bisa mengerjakan soal-soal Volume Benda Putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar Mengelilingi Suaerimbu X

      2.   Sarana belajar untuk memperdalam materi Integral khususnya Volume Benda Putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar Mengelilingi Sumbu X

      3.   Sebagai Tambahan Ilmu  Pengetahuan 


 

 

 

 

 

 

PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU

 

1.    Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington

       Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

 

 

 

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan  menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.    Bola Lampu

Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal.  

 

 

 

Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

 

 

 

VOLUME

BANDA PUTAR

 

A.  MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR

1.   Metode-metode Menetukan Volume Banda Putar                        

        Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :

      1.   Metode cakram

      2.   Metode cincin

      3.   Metode kulit tabung

Metode Cakram

Metode Cincin

Metode Kulit Tabung

 

 

           a.                                                          Metode Cakram

                       Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram

 

                       Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = Dx. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai DV » pr2hatau  DV » p f(x)2Dx.

                       Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh:

                 V » å p f(x)2 Dx

                                             V = lim å p f(x)2 Dx

 

 

 

 

 

 

 

           b.                                                     Metode Cincin

                       Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

 

 

 

 

 

                       Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan  rumus volume cincin  seperti gambar di samping, yaitu 

V= p(R2 – r2)h

 

 

 

 

 

      c.   Metode Kulit Tabung

                                      Metode kulit tabung  yang digunakan untuk menentukan volume benda putar  dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. 

V = 2prhDr

 

 

B.  MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR YANG DIBATASI DUA KURVA PADA SUMBU X

            Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan  pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.

ATAU

 

 

 

 

      C.   Contoh Soal dan Penyelesaiannya

                                                                                    Contoh 1

        Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x diputar terhadap sumbu x

Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x

Perpotongan kedua kurva:

     x2             = –x2 + 4x

x2 + x2 – 4x   = 0

2x2 – 4x        = 0

2x(x – 2)       = 0

2x = 0 atau x = 2

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)

Metodecakram:

     


 

Satuan volum

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Metode cincin silinder:

 

 

Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x


 

              Metode cincin silinder:

 

 

 

 

 


 

 

                                                                                    Contoh 2

                 Contoh 3

           Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum.

Soal Ujian Nasional Tahun 2006

 

      Penyelesaian

Perpotongan kedua kurva:

     x2 + 1            =  x + 3

x2 – x – 2           = 0

(x – 2) ( x + 1)   = 0

Sehingga

x = 2 atau x = -1

x = 2 → y = 2 +3 = 5

x = -1 → y = -1 + 3 = 2

Satuan volum

       Jadi perpotongan kedua kurva pada (2, 5) dan (-1, 2)

 

 

A.  KESIMPULAN

 

                 Dari uraian materi di atas dapat disimpulkan bahwa :

      1.   Rumus mencari Volume Benda Putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar mengeilingi Sumbu X

ATAU

      2.   Ada dua cara untuk menyelesaiakan soal-soal Volume Benda Putar yang dibatasi Dua Kurva yang diputar mengeilingi Sumbu X, yaitu :

           1.   Metode Cakram

           2.   Metode Kulit Tabung (Silinder)

 

 

http://kamikita.student.fkip.uns.ac.id/

http://www.matematikastudycenter.com/bank-soal-un-mtk-sma/20-bank-soal-un-sma-integral-volume-benda-putar#ixzz23PemQAog

Anonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-riemann.pdf

Anonim.  Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdf

Ayres, Jr. Frank ; 1964 ; Differential and Integral Calculus ; New York ; Schaum’s Outline Series Mc Graw-Hill Book Company

Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985 ; Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus ; Jakarta ; Penerbit Erlangga

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara

 

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s